• Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale
• Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale
• Représenter la répétition d'expériences identiques et indépendantes à l'aide d'un arbre pondéré

Une expérience aléatoire avec deux issues, succés de probabilité $p$ ou échec de probabilité $1 - p$ est appelé une épreuve de Bernouilli de paramètre $p$.

• Tirer à pile ou face (pile étant le succés) est une épreuve de Bernouilli de paramètre $0,5$
• Lancer un dé (faire $6$ étant le succés) est une épreuve de Bernouilli de paramètre $\frac{1}{6}$

Une épreuve de Bernoulli peut être représentée par un arbre pondéré simple. En prenant l'exemple du dé :

• Un schéma de Bernoulli d’ordre $n$ et de paramètre $p$ est la répétition d’une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ $n$ fois où chaque issue est indépendante.
• La loi de probabilité de la variable $X$ comptant le nombre de succés de ce shéma de Bernouilli s'appelle la loi Binomiale et se note $\mathcal{B}(n,p)$.

Tirer un dé (faire $6$ étant le succés) trois fois d'affilée est un schéma de Bernouilli d'ordre 3 et de paramètre $\frac{1}{6}$. On peu le représenter par l'arbre pondéré suivant : La probabilité de gagner 2 fois $P (X=2)$correspond aux chemins dans l'arbre : $SS\bar{S}$ ou $S\bar{S}S$ ou $SS\bar{S}$ ou $\bar{S}SS$ : $$ \begin{array}{lll} P (X=2) &=& (\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}) + (\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{1}{6}) + (\frac{5}{6}\times\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}) \\\\ &=& \text{nombre de chemins a deux succes} \times (\frac{1}{6})^2\times (\frac{5}{6})^1 \end{array} $$ Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est le nombre de chemins réalisant $k$ succés pour $n$ répétitions. Dans l'exemple précédent, le nombre de chemins à $2$ succés parmi $3$ tirs est $\binom{2}{3} = 3$ À la calculatrice, on peut calculer $\binom{n}{k}$ de la manière suivante :

• Texas Instrument : touche MATH puis PRB, puis Combinaison. On tape n Combinaison k
• Casio : touce OPTN puis →, puis PROB puis nCr. On tape n nCr k

La probabilité de faire $k$ succés parmi $n$ dans une épreuve de Bernouilli de paramètre $p$ est : $$ P (X = k) = \binom{n}{k} p^k \times (1-p)^{n-k} $$ À la calculatrice, on peut calculer $P (X=k)$ pour la loi binomiale$\mathcal{B}(n,p)$ de la manière suivante :

• Texas Instrument : Menu Distrib (seconde+var) puis PRB, puis BinomFdp. On tape BinomFdp (n,p,k)
• Casio : touche OPTN puis STAT, puis DIST puis BINM puis Bpd. On tape BinomialPD (k, n, p)

À la calculatrice, on peut calculer $P (X\leq k)$ pour la loi binomiale$\mathcal{B}(n,p)$ de la manière suivante :

• Texas Instrument : Menu Distrib (seconde+var) puis PRB, puis BinomFRép. On tape BinomFRép (n,p,k)
• Casio : touche OPTN puis STAT, puis DIST puis BINM puis Bcd. On tape BinomialCD (k, n, p)

On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ :

• Son espérance $E (X) = n p$
• Son écart type $\sigma = \sqrt{n p (1-p)}$

L'espérance représente la valeur moyenne prise par la variable aléatoire. L'écart type représente l'écart moyen entre deux valeurs prises par la variable aléatoire.